المعادلة
ماذا يفعل حلّاب المعادلة التربيعية
يحل أي معادلة تربيعية على الصيغة ax² + bx + c = 0. المدخلات: المعاملات الثلاثة a وb وc (الأعداد العشرية والسالبة مرحّب بها). المخرجات: الجذور (حقيقية أو مركبة)، قيمة المميز مع تفسير، رأس القطع المكافئ y = ax² + bx + c (نقطة الحد الأدنى أو الأعلى)، وصيغ فييتا (مجموع وحاصل ضرب الجذور المشتقين من المعاملات دون حل). الحالات الخاصة المعالجة: إذا a = 0 المعادلة خطية، يعطي الحلّاب x = -c/b؛ إذا a = b = 0 المعادلة منحطّة (حلول لا نهائية إن c = 0، لا حل خلاف ذلك).
المميز - قراءة المعادلة قبل الحل
المميز Δ = b² - 4ac هو الجزء تحت الجذر التربيعي في الصيغة التربيعية. يخبرك بكل شيء عن الجذور دون الحاجة لحسابها. إن Δ > 0، الجذر حقيقي، وتحصل على جذرين حقيقيين مختلفين - رسمياً، القطع المكافئ يقطع محور x عند نقطتين. إن Δ = 0، الجذر صفر، وتنهار الصيغة لجذر واحد x = -b/(2a) - القطع المكافئ مماس لمحور x، يلامسه عند نقطة واحدة بالضبط (هذه حالة 'الجذر المضاعف' أو 'الجذر المكرر'). إن Δ < 0، جذر عدد سالب يتطلب الوحدة التخيلية i، يعطي جذرين مركبين متقارنين a ± bi - القطع المكافئ لا يلامس محور x. في مسائل المدرسة، انظر إلى المميز أولاً: يحدد شكل إجابتك. لمسائل الفيزياء العملية (حركة المقذوفات، نقاط الكسر)، مميز سالب غالباً يشير إلى 'هذا السيناريو لا يحدث' بدلاً من خطأ حسابي.
صيغ فييتا - التحقق من عملك
إن كان x₁ وx₂ جذري المعادلة ax² + bx + c = 0، فإن: المجموع (x₁ + x₂) = -b/a، وحاصل الضرب (x₁ × x₂) = c/a. هذه صيغ فييتا، نسبة إلى فرانسوا فييتا (1540-1603). مفيدة جداً لـ: (1) التحقق العقلاني من إجابتك - بعد الحل، تحقق أن المجموع وحاصل الضرب يطابقان الصيغ. (2) بناء معادلة تربيعية بجذور معروفة - بجذرين 3 و5، المعادلة x² - 8x + 15 = 0. (3) العبارات المتماثلة - x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (b² - 2ac)/a²، يمكن حسابها دون إيجاد الجذور. (4) الاستقرار العددي - في الحالة غير المستقرة حيث جذر واحد أكبر بكثير من الآخر، علاقات فييتا تتيح لك حساب الجذر الصغير بدقة بمجرد امتلاك الكبير. تعتمد رياضيات المدرسة والمسابقات على فييتا كاختصار لتجنب الجبر المعقد.
الاستخدامات الواقعية للمعادلات التربيعية
تصف المعادلات التربيعية أي ظاهرة تعتمد فيها كمية على مربع كمية أخرى. أمثلة شائعة: (1) حركة المقذوفات - ارتفاع جسم مقذوف يتبع h(t) = -½gt² + v₀t + h₀، معادلة تربيعية في الزمن. حل h = 0 لإيجاد وقت الهبوط. (2) تعظيم المساحة لمحيط معطى - مساحة المستطيل A = w(P/2 - w) تربيعية في w. (3) الفيزياء - طاقة الحركة ½mv² تربيعية في السرعة، الجاذبية بين الأجسام تشمل حدود مسافة تربيعية. (4) الاقتصاد - كثير من دوال التكلفة والإيراد تربيعية (تكلفة هامشية ثابتة تعطي تكلفة كلية تربيعية). (5) الهندسة - انحراف العوارض الإنشائية غالباً يتبع منحنيات تربيعية، معادلة العدسة في البصريات، الهوائيات المكافئة. (6) رسومات الحاسوب - منحنيات بيزييه التربيعية. (7) المالية - صيغة القيمة الحالية بأسعار معينة تنتج معادلات تربيعية للحل عن الزمن للهدف. معرفة الصيغة التربيعية تعطيك إجابات صريحة بشكل مغلق حيثما تنطبق هذه النماذج.
هل حللنا مشكلتك اليوم؟